יחידה 19: מקבילית שיעור 1. הגדרת המקבילית במקביליות שלפניכם משתמשים בסביבה ובחיי היום-יום. בפסי-רכבת: בדגלים: של איזו מדינה דגל זה? של איזו מדינה דגל זה? בתמרורים וסימני תנועה: איזה תמרור זה? איזה תמרור זה? באריזות אוכל: שוקו חפשו בבית ובאינטרנט מקביליות נוספות הנמצאות בסביבה. נגדיר מקביליות ונלמד לזהותן. שילובים במתמטיקה 349
1. א. בש רטוט זוג ישרים מקבילים. ה עתיקו את השרטוט על דף משובץ. ש רטטו זוג נוסף של ישרים מקבילים החותכים את הזוג הראשון. איזה מרובע התקבל? ב. ש רטטו שני מרובעים נוספים, שונים מהקודם. ג. אילו מרובעים התקבלו? במה הם דומים ובמה הם שונים זה מזה: בגודל הזוויות? באורכי הצלעות? בהקבלה של הצלעות? הגדרה: מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות נקרא מקבילית. בשרטוט מקבילית. 2. המרובעים שלפניכם הם מקביליות. בכל סעיף ח שבו על-פי הנתונים שבש רטוט, את הגדלים של זוויות המקבילית. 65 ג. ב. 55 28 42 א. 27 115 115 125 148 42 חושבים על... 3. על מה הסתמכנו במשימה 2 כדי למצוא את הגדלים של הזוויות? 350 שילובים במתמטיקה
המרובע הוא מקבילית נתון 4. נתון חוצה את = 65 ח שבו את הגדלים של זוויות משולש. המרובע הוא מקבילית נתון 5. נתון חוצה את משולש שווה-שוקיים צ"ל אוסף משימות 1. א. מ צאו מקביליות בתמונה. ב. תּ נו דוגמאות למקביליות בסביבה שלכם. 2. הנקודות, L ו- הן שלושה קדקודים של מקבילית. העתיקו אותן על דף משובץ. א. ש רטטו מקבילית היעזרו בהגדרה. L ב. ש רטטו עוד שתי מקביליות נוספות שהנקודות,, L ו- הן שלושה מקדקודיה. 3. ב נו בעזרת סרגל ומחוגה מקבילית לפי הגדרתה. ת ארו את הבנייה. שילובים במתמטיקה 351
4. בכל סעיף ש רטטו מרובע שאינו מקבילית. א. למרובע זוג צלעות מקבילות. ב. למרובע זוג צלעות נגדיות שוות באורכן. ג. למרובע זוג זוויות נגדיות שוות בגודלן. 5. המרובעים שלפניכם הם מקביליות. בכל סעיף ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית לפי הנתונים. ה. ג. א. 40 30 52 125 76 70 ב. ד. ו. 70 34 66 6. בשרטוט מרובע. ש רטטו ישרים מקבילים לאלכסונים דרך קדקודי המרובע. ה סבירו מדוע המרובע שהתקבל הוא מקבילית. R 7. נתון המרובע R הוא מקבילית האלכסון מאונך לצלע R = 45 ח שבו את הגדלים של הזוויות בש רטוט, ומ צאו משולשים שווי-שוקיים. 352 שילובים במתמטיקה
8. נתון מקבילית מקבילית = 45 = 55 ח שבו את הגדלים של זוויות שלושת המשולשים. 9. נתון המרובע הוא מקבילית חוצה את = 50 ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית. H S P.10 נתון HP כמה מקביליות בש רטוט? ר שמו אותן. R.11 נתון HP RS H P כמה מקביליות בש רטוט? S 12. נתון מקבילית צ"ל = שילובים במתמטיקה 353
שיעור 2. תכונות הצלעות במקבילית בעיר מ ק במדינת ב ילית הרחובות יוצרים רשת של מקביליות כמו בשרטוט שלמטה. דבורה הלכה מנקודה לנקודה במסלול הכחול. גאולה אמרה שהיא יכולה לקצר את הדרך. היא הלכה במסלול האדום. האם גאולה צודקת? נכיר תכונות של צלעות במקבילית. 1. בש רטוטים שלפניכם זוגות של צלעות סמוכות של מקבילית. א. ה עתיקו לדף משובץ וה שלימו את ש רטוט המקביליות בעזרת מקבילים לצלעות המשורטטות. ב. מ צאו תכונה נוספת של צלעות נגדיות במקבילית ונ סחו את התכונה שמצאתם כמשפט. ג. ר שמו מה נתון ומה צריך להוכיח במשפט שניסחתם. ד. הוכיחו: האלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים. ה. ה שלימו את הוכחת המשפט שניסחתם בסעיף ב. משפט במקבילית הצלעות הנגדיות שוות באורכן. נתון מקבילית מסקנה = = 354 שילובים במתמטיקה
חושבים על... 2. נחזור לרשת הרחובות בעיר מ ק ממשימת הפתיחה )המידות במטרים(. א. מה המרחק שעברה דבורה מהנקודה לנקודה? מה המרחק שעברה גאולה מהנקודה לנקודה? על-סמך איזו תכונה של המקבילית מצאתם את המרחק? דן 30 45 ב. האם גאולה קיצרה את הדרך? על-סמך איזו תכונה של המקבילית תוכלו להסביר? ג. מהו המרחק הקצר ביותר בין הנקודות ו- גד על-פני רשת הרחובות הזו? T מקבילית נתון 3. T = כך ש-, נקודות על האלכסון T ו- מ צאו בשרטוט זוגות של משולשים חופפים. מקבילית נתון 4. מקבילית = צ"ל אוסף משימות באוסף המשימות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ. 13 1. א. מירי יצרה מקבילית בעזרת חוט שאורכו 36 ס"מ. אורך אחת הצלעות של המקבילית 13 ס"מ. מה אורך כל אחת משלוש הצלעות האחרות? ב. מחוטים אחרים שאורך כל אחד מהם 36 ס"מ, יצרו שתי מקביליות נוספות. ש רטטו שתי מקבליות כאלה ור שמו אורכי צלעות מתאימים לכל אחת מהמקביליות. שילובים במתמטיקה 355
2. קבעו באילו מקביליות הנתונים שגויים. ה סבירו. 4 3 3 3 4 א. ב. ג. 4 4 4 4 2 4 2 L 3. נתון מקבילית = האם אפשר להסיק:? L אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. P 4. נתון מקבילית נקודה על P נקודה על האם אפשר להסיק:? P אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. 5. נתון מקבילית חוצה את זווית 11 ס"מ =, 7 ס"מ = ח שבו את אורך. 6. נתון מקבילית חוצה את זווית ה משיכו את הצלע עד לנקודת החיתוך עם חוצה הזווית. מ צאו בשרטוט משולשים שווי-שוקיים והוכיחו. H 7. נתון מקבילית חוצה את זווית ה משיכו את הצלע עד לנקודת החיתוך עם חוצה הזווית. א. מ צאו בשרטוט משולשים שווי-שוקיים והוכיחו. H ב. נתון 6 ס"מ = 4 ס"מ = מ צאו בשרטוט משולשים דומים וח שבו את יחס הדמיון. 356 שילובים במתמטיקה
שיעור 3. תכונות הזוויות במקבילית נתון מקבילית. האלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים. ש ערו: אילו מסקנות אפשר להסיק לגבי הגדלים של זוויות המקבילית? נכיר תכונות של זוויות במקבילית. התייחסו לנתונים במשימת הפתיחה. 1. = צ"ל א. = ב. נ סחו את המשפט שהוכחתם. 2. משפט במקבילית סכום הגדלים של כל שתי זוויות סמוכות שווה 180. א. ש רטטו מקבילית וכ תבו בכתיב מתמטי מה נתון ומה צריך להוכיח. ב. הוכיחו את המשפט. משפט במקבילית הזוויות הנגדיות שוות בגודלן. משפט במקבילית סכום הגדלים של כל שתי זוויות סמוכות שווה 180. 3. בכל סעיף נתונה מקבילית. ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית. 55 ג. ב. א. 107 70 חושבים על... 4. איילה אמרה: בכל מקבילית יש שתי זוויות חדות ושתי זוויות קהות. האם איילה צודקת? ה סבירו. שילובים במתמטיקה 357
6x 4 5. בכל סעיף נתונה מקבילית. ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית. ב. א. 5x 10 2x + 24 x + 50 T מקבילית נתון 6. T = T = צ"ל 7. רונית אמרה: אני יכול להוכיח שהאלכסון במקבילית חוצה את הזוויות. מ צאו את הטעות בהוכחה של רונית. הוכחה נימוק R R = N צלעות נגדיות במקבילית RN = צלעות נגדיות במקבילית N לפי צלע, צלע, צלע R = R NR R RN = R N חוצה את R אוסף משימות 1. א. במקבילית גודל אחת הזוויות הוא 75. ח שבו את הגדלים של הזוויות האחרות במקבילית. ב. במקבילית גודל אחת הזוויות הוא 151. ח שבו את הגדלים של הזוויות האחרות במקבילית. 358 שילובים במתמטיקה
4x + 5 2. בכל סעיף נתונה מקבילית. ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית. 4x + 2 66 ב. ג. א. 3x 3x + 18 40 110 F מקבילית נתון 3. F מקבילית ח שבו את גודל זווית F 4. נתון מקבילית ח שבו גדלים של זוויות וק בעו אילו מהמסקנות הבאות נובעות מהנתונים. F א. = ב. F = ג. F F = 70 70 ד. Δ שווה-שוקיים ה. Δ ΔF 5. נתון R מקבילית. בכל סעיף ח שבו גדלים של זוויות, וק בעו אם האלכסון R חוצה את הזוויות R ו- 110 R ג. R ב. R א. 55 70 40 60 30 P מקבילית נתון 6. חוצה את זווית חוצה את זווית P צ"ל P מקבילית שילובים במתמטיקה 359
7. טענה: חוצי זוויות סמוכות במקבילית מאונכים זה לזה. האם הטענה נכונה? אם כן, הוכיחו. אם לא, ה סבירו. מקבילית נתון 8. חוצה זווית צ"ל שווה-שוקיים מקבילית נתון 9. = 2 צ"ל חוצי הזוויות ו- נפגשים על הצלע 10. נתון מקבילית חוצה זווית R R חוצה זווית צ"ל א. 90 = ar ב. R R = 11. מרובע הוא מקבילית. דרך הקדקוד ש רטטו מקביל לאלכסון של המקבילית. המקביל חותך את המשך הצלע בנקודה ואת המשך הצלע בנקודה. א. ש רטטו ומ צאו כמה מקביליות בש רטוט. ב. הוכיחו כי הנקודות, ו- הן אמצעי צלעות המשולש. ג. ח שבו את יחסי השטחים בין משולש Δ ובין מקבילית. 360 שילובים במתמטיקה
שיעור 4. תכונות האלכסונים במקבילית נתון: מקבילית. ארבע נמלים עומדות בנקודה הנמלים הולכות באותה מהירות. כל נמלה הולכת בקו ישר לאורך חלק מהאלכסון לעבר אחד הקדקודים. ש ערו: האם כל הנמלים תגענה באותו זמן אל הקדקודים? האם חלק מהן תגענה באותו זמן? נכיר תכונות של אלכסונים במקבילית. 1. ש ערו: איזו טענה נכונה? אם הטענה נכונה, הוכיחו. אם לא, ה סבירו או ש רטטו דוגמה נגדית. א. האלכסונים במקבילית שווים באורכם. ב. האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. ג. האלכסונים במקבילית חוצים את זוויות המקבילית. ד. האלכסונים במקבילית מאונכים זה לזה. 2. נחזור למשימת הפתיחה. ב דקו את השערתכם ות קנו. מצאנו תכונה נוספת של מקבילית. משפט אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים חוצים זה את זה. F 3. נתון מקבילית הקטע F עובר דרך נקודת מפגש של האלכסונים )( צ"ל F = 4. נתון מקבילית = P התלמידות התבקשו להוכיח כי = P P איילה אמרה: צריך לחפוף קודם את המשולשים Δ ו- ΔP ורק לאחר מכן לחפוף את המשולשים Δ ו-.ΔP עדינה אמרה: יש מספיק נתונים כדי לחפוף רק את Δ ו-.ΔP האם עדינה צודקת? ב חרו באחת האפשרויות והוכיחו. שילובים במתמטיקה 361
בעקבות... 5. נתונה מקבילית שאינה מלבן. א. האם אפשר לשרטט מעגל העובר דרך ארבעת קדקודי המקבילית? ה סבירו. ב. האם אפשר לשרטט מעגל העובר דרך שני קדקודים סמוכים של המקבילית? אם כן, היכן יכול להיות מרכז המעגל? ה סבירו. ג. האם אפשר לשרטט מעגל העובר דרך שני קדקודים נגדיים של המקבילית? אם כן, היכן יכול להיות מרכז המעגל? ה סבירו. הגדרה: מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות נקרא מקבילית תכונות המקבילית אם מרובע הוא מקבילית, אז הצלעות הנגדיות שלו שוות באורכן. תנאים מספיקים לזיהוי מקבילית נלמד ביחידה הבאה. אם מרובע הוא מקבילית, אז הזוויות הנגדיות שלו שוות בגודלן. אם מרובע הוא מקבילית, אז סכום הגדלים של כל שתי זוויות סמוכות שווה 180. אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה. אוסף משימות 1. נתון מקבילית 6 ס"מ =, 8 ס"מ =, 10 ס"מ = מ צאו את היקף המשולש. 362 שילובים במתמטיקה
2. נתון מקבילית = ס"מ 8 = 75 = 30 א. מ צאו משולשים שווי-שוקיים. ה סבירו את שלבי החישוב. ב. מהו אורך הצלע? ה סבירו. R 3. נתון R מקבילית R = ס"מ 5, = 60,R = 60 א. מ צאו בש רטוט משולשים שווי-צלעות ונ מקו. ב. ח שבו את אורכי האלכסונים ואת הגדלים של זוויות המקבילית. T 4. נתון מקבילית הקטע T עובר דרך נקודת מפגש האלכסונים )( צ"ל T = 5. נתון מקבילית = צ"ל T 6. נתון מקבילית הנקודה היא מפגש אלכסוני המקבילית R צ"ל =,R = T, =,T = R 7. נתון מקבילית צ"ל = שילובים במתמטיקה 363